Algebra

Regler og eksempler – med full utregning steg for steg

Numerus

1. Husk regler for fortegn fra kapittel om tallregning

Regel: Ved multiplikasjon og divisjon: like fortegn gir pluss, ulike fortegn gir minus.(−)·(−) og (+)·(+) = + | (+)·(−) og (−)·(+) = −

Regel: To regnetegn etter hverandre følger samme regel som multiplikasjon og divisjon: like tegn gir pluss, ulike tegn gir minus.8 − (−2) = 8 + 2 | 8 + (−2) = 8 − 2

2. Variabler og uttrykk

Regel: En variabel er et tall vi kjenner ikke – ofte x. Et algebraisk uttrykk kan ha tall (koeffisienter) og variabler.3x + 5 (3 er koeffisient, x er variabel)

Eksempel: Finn verdien av 3x + 5 når x = 4.

Steg 1:Sett inn: 3 · 4 + 5.

Steg 2:12 + 5 = 17.

Svar:3x + 5 = 17 når x = 4

Regel: Vi skriver ikke multiplikasjonstegn mellom to forskjellige bokstaver. Vi har et usynlig multiplikasjonstegn: 5x betyr 5 ⋅ x og a b/c betyr a ⋅ b/c5x = 5 ⋅ x | abc = a ⋅ bc

3. Forenkle uttrykk – samle like termer

Regel: Like termer (samme variabel og potens) kan legges sammen. Bare koeffisientene endres.3x + 2x = 5x | 5x − 2x = 3x

Eksempel 1: Forenkle 4x + 7 − 2x + 3.

Steg 1:Samle x-termer: 4x − 2x = 2x.

Steg 2:Samle tall: 7 + 3 = 10.

Steg 3:Samle: 2x + 10.

Svar:4x + 7 − 2x + 3 = 2x + 10

Eksempel 2: Forenkle 3x + 2y − x + 5y.

Steg 1:Samle x-termer: 3x − x = 2x.

Steg 2:Samle y-termer: 2y + 5y = 7y.

Steg 3:Samle: 2x + 7y.

Svar:3x + 2y − x + 5y = 2x + 7y

4. Multiplikasjon av parenteser

Regel: Multipliser hvert ledd i første parentes med hvert ledd i andre (dobbelt distribusjon).(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Eksempel: Multipliser ut (x + 2)(x + 3).

Steg 1:x·x = x²

Steg 2:x·3 = 3x

Steg 3:2·x = 2x

Steg 4:2·3 = 6

Steg 5:Samle: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Svar:(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6

5. 1. kvadratsetning

Regel: Regel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Midtleddet 2ab kommer fra å multiplisere de to kryssende leddene og doble resultatet.

Eksempel: Regn ut (x + 3)².

Steg 1:(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

Steg 2:= x² + 6x + 9

Svar:(x + 3)² = x² + 6x + 9

6. 2. kvadratsetning

Regel: Regel: (a − b)² = a² − 2ab + b². Midtleddet −2ab kommer fra å multiplisere de to kryssende leddene og doble resultatet (med minus fortegn).

Eksempel: Regn ut (x − 4)².

Steg 1:(x − 4)² = x² − 2·x·4 + 4²

Steg 2:= x² − 8x + 16

Svar:(x − 4)² = x² − 8x + 16

7. Konjugatsetningen (3. kvadratsetning)

Regel: Regel: (a + b)(a − b) = a² − b². Mellomleddene kansellerer hverandre.

Eksempel: Regn ut (x + 5)(x − 5).

Steg 1:(x + 5)(x − 5) = x² − 5x + 5x − 25 (multipliser ut)

Steg 2:−5x + 5x = 0, derfor får vi: x² − 5x + 5x − 25 = x² − 25.

Svar:(x + 5)(x − 5) = x² − 25

8. Uttrykk med brøk

Regel: Samle like termer i teller. Ved ulik nevner finner fellesnevner og utvid brøkene før du legger sammen.

Eksempel 1: Forenkle x3 + 2x3.

Steg 1:Lik nevner – samle tellerne: x + 2x = 3x.

Steg 2:3x3 = x.

Svar:x3 + 2x3 = x

Eksempel 2: Forenkle x2 + x3.

Steg 1:Fellesnevner = 2 · 3 = 6.

Steg 2:Utvid: x2 = 3x6 og x3 = 2x6.

Steg 3:Samle: 3x6 + 2x6 = 5x6.

Svar:x2 + x3 = 5x6

9. Figurtall

Figurtall er tall som kan arrangeres som geometriske figurer. Hver figur har et mønster som kan beskrives med en formel f(n), der n er figurnummeret.

Lineære figurtall

Regel: Antall ruter øker med samme antall for hvert trinn. a er økningen per trinn, og b er startverdien (antall ruter når n = 0).F(n) = an + b

n = 1

n = 2

n = 3

Eksempel: Start med tre ruter i L-form. Øk begge endene med 1 for hvert trinn. Finn formelen og regn ut F(4).

Steg 1:n = 1: 3 ruter, n = 2: 5 ruter, n = 3: 7 ruter.

Steg 2:Økning per trinn: a = 2.

Steg 3:Startverdi (n = 0): b = 1.

Steg 4:Formel: F(n) = 2n + 1.

Steg 5:F(4) = 2 · 4 + 1 = 9.

Svar:F(n) = 2n + 1, F(4) = 9

Kvadrat- / firkanttall

Regel: Rutene arrangeres i et kvadrat med n rader og n kolonner. Det n-te kvadrattallet er n².f(n) = n²

n = 1

n = 2

n = 3

Eksempel: Finn antall ruter når n = 5.

Steg 1:f(5) = 5² = 25

Svar:f(5) = 25

Trekanttall

Regel: Prikker arrangeres i en likesidet trekant. Det n-te trekanttallet er summen av de n første naturlige tallene.f(n) = n(n + 1) / 2

n = 1

n = 2

n = 3

Eksempel: Finn antall prikker når n = 5.

Steg 1:f(5) = 5 · (5 + 1) / 2 = 5 · 6 / 2 = 30 / 2 = 15

Svar:f(5) = 15

Sammensatte figurtall

Regel: Figurer satt sammen av flere enklere figurtall. Her: en base av n × (n+1) ruter med to (n−1) × (n−1)-blokker i hjørnene på toppen.f(n) = 3n² − 3n + 2

Eksempel: Finn antall ruter når n = 4.

Steg 1:f(4) = 3 · 4² − 3 · 4 + 2

Steg 2:= 3 · 16 − 12 + 2

Steg 3:= 48 − 12 + 2 = 38

Svar:f(4) = 38