Numerus

Tall og tallregning

Regler og eksempler – med full utregning steg for steg

1. Titallsystemet og plassverdi

Regel: Titallsystemet bygger på grunntallet 10. Hvert siffer har en plassverdi: enere, tiere, hundrere, tusen ...342 = 3·100 + 4·10 + 2·1

Eksempel: Hva betyr sifferet 7 i tallet 4 705?

Steg 1:7 står på hundredarplassen, så plassverdien er 7 · 100 = 700.

Svar:Sifferet 7 betyr 700

2. De fire regneartene

Regel: Addisjon: slå sammen. Subtraksjon: ta vekk. Multiplikasjon: gjentatt addisjon. Divisjon: fordeling.a + b | a − b | a · b | a ÷ b

Addisjon: 348 + 267

348

+ 267

615

Subtraksjon: 523 − 267

1010

523

−267

256

Multiplikasjon: 49 · 37

1. delprodukt (· 7)

49·37

343

2. delprodukt (· 30)

49·37

343

147

3. sluttsum

49·37

343

147

1813

Gange med 7:

7 · 9 = 63 (skriv 3, ta med 6 videre)

7 · 4 + 6 = 34

Gange med 3:

3 · 9 = 27 (skriv 7, ta med 2 videre)

3 · 4 + 2 = 14

Delproduktene blir 343 og 1470.
343 + 1470 = 1813.

Divisjon: 144 ÷ 12

144 : 12 = 12

−12

− 24

Forklaring:

1 · 12 = 12

2 · 12 = 24

3. Multiplikasjon og divisjon med 10, 100, 1000

Regel: Å gange med 10, 100, 1000 flytter kommaet hhv. 1, 2, 3 plasser til høyre. Å dele flytter kommaet til venstre.n · 10 | n ÷ 100 | n · 1000

Eksempel: Regn ut 3,4 · 100.

Steg 1:Flytt komma 2 plasser til høyre: 3,4 · 100 = 340.

Svar:3,4 · 100 = 340

Eksempel: Regn ut 56 ÷ 10.

Steg 1:Flytt komma 1 plass til venstre: 56 ÷ 10 = 5,6.

Svar:56 ÷ 10 = 5,6

4. Tierpotenser

Regel: En tierpotens er 10 multiplisert med seg selv et antall ganger. 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000 ...10ⁿ = 1 fulgt av n nuller

Eksempel: Skriv 10⁴ som vanlig tall.

Steg 1:10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000. Altså 1 fulgt av 4 nuller.

Svar:10⁴ = 10 000

5. Desimaltall

Regel: Desimaltall har komma. Plassverdiene etter komma er tiendeler, hundredeler, tusendeler …3,425 = 3 + 4/10 + 2/100 + 5/1000

Addisjon: 3,4 + 2,85

3,40

+2,85

6,25

Tieroverføring: 4 + 8 = 12 tiendeler → skriv 2, ta med 1 videre til enerne.

Subtraksjon: 1,3 − 0,12

1,30

−0,12

1,18

Lån: 0 − 2 går ikkje, lån 1 tiendel = 10 hundredeler; 10 − 2 = 8.

6. Negative tall

Regel: Tall står på en tallinje med 0 i midten. Minus betyr «til venstre». Ved multiplikasjon og divisjon: like fortegn gir pluss, ulike fortegn gir minus.(−)·(−) = + | (+)·(−) = −

Eksempel: Regn ut −5 + 3.

Steg 1:Start på −5 på tallinja og gå 3 steg til høyre.

Steg 2:= −2.

Svar:−5 + 3 = −2

Eksempel: Regn ut (−3) · (−4).

Steg 1:3 · 4 = 12. Like fortegn gir pluss.

Steg 2:= 12.

Svar:(−3) · (−4) = 12

Eksempel: Regn ut (−6) · 2.

Steg 1:6 · 2 = 12. Ulike fortegn gir minus.

Steg 2:= −12.

Svar:(−6) · 2 = −12

7. Regnerekkefølge med de fire regneartene

Regel: Rekkefølge: 1) parenteser, 2) potenser, 3) multiplikasjon/divisjon, 4) addisjon/subtraksjon. (PPMD)( ) → ^ → · og ÷ → + og −

Eksempel: Regn ut 2(6 − 2) + 3 · 4².

Steg

Nytt stykke

Start

2(6 − 2) + 3 · 4²

1. Parentes først: 6 − 2 = 4

= 2 · 4 + 3 · 4²

2. Potens: 4² = 4 · 4 = 16

= 2 · 4 + 3 · 16

3. Multiplikasjon: 2 · 4 = 8, 3 · 16 = 48

= 8 + 48

4. Addisjon: 8 + 48 = 56

= 56

8. Potenser og kvadratrot

Regel: aⁿ betyr a multiplisert med seg selv n ganger. a⁰ = 1 og a¹ = a. Kvadratroten √a er det tallet som ganget med seg selv gir a.aⁿ = a · a · … · a | √25 = 5

Eksempel: Regn ut 2³.

Steg 1:2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Svar:2³ = 8

Eksempel: Regn ut √81.

Steg 1:Spør: Hvilket tall ganget med seg selv gir 81?

Steg 2:9 · 9 = 81, altså √81 = 9.

Svar:√81 = 9

9. Delelighet og primtall

Regel: Delelighetsregler: delelig med 2 hvis siste siffer er partall; med 3 hvis tverrsummen er delelig med 3; med 5 hvis siste siffer er 0 eller 5; med 10 hvis det slutter på 0. Et primtall har bare to divisorer: 1 og seg selv (2, 3, 5, 7, 11 …). 1 er ikke et primtall.2 · 3 · 5 · 7 · 11 …

Eksempel: Er 246 delelig med 2, 3, 5 og 10?

Steg 1:Med 2: siste siffer 6 er partall → ja.

Steg 2:Med 3: tverrsum 2 + 4 + 6 = 12, og 12 er delelig med 3 → ja.

Steg 3:Med 5: siste siffer er 6 (ikke 0 eller 5) → nei.

Steg 4:Med 10: slutter ikke på 0 → nei.

Svar:246 er delelig med 2 og 3, men ikke med 5 og 10

Eksempel: Skriv 24 som et produkt av primtall.

Steg 1:24 = 2 · 12 = 2 · 2 · 6 = 2 · 2 · 2 · 3.

Steg 2:= 2³ · 3.

Svar:24 = 2³ · 3

Eksempel: Primtallfaktorisering av 84

Vi deler på det minste primtallet som går opp, om og om igjen, til vi står igjen med 1. Primtallene til høyre leses nedover og gir primtallfaktoriseringen.

842

422

213

84 = 2 · 2 · 3 · 7

Forklaring: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Altså 84 = 2 · 2 · 3 · 7.